Introduction à la mathématique non standard

En 1674, lorsque Leibniz inventa le calcul différentiel et intégral, il introduisit de nouvelles quantités : des nombres infiniment grands ou infiniment petits. Mais, manipulés sans précaution, ces nombres conduisaient à des incohérences qui, naturellement, furent rejetées par les mathématiciens, lesquels mirent au point une autre méthode pour développer le calcul infinitésimal : la méthode des limites, pour finalement aboutir à ce monument de la mathématique : l’Analyse.

Ce bel édifice commença à se fissurer, dès le début du XXe siècle, avec l’apparition de modèles mathématiques non standard. C’est alors que A. Robinson comprit que ces modèles permettaient d’élaborer une analyse plus générale que l’analyse classique et qui incorporerait des éléments infinitésimaux. Il montra alors que cette théorie nouvelle permet de construire et d’utiliser des nombres infiniment grands ou infiniment petits, ressuscitant ainsi les idées de Leibniz.

Cet essai expose la genèse et les principes de l’analyse non standard, ses fondements logiques et axiomatiques, la construction des entiers et des réels non standard, et se conclut par des applications illustrées d’exercices corrigés.